经典物理与量子力学最突出的差别之一是态叠加原理。态叠加原理包含在量子力学第一个基本假设里面。即微观粒子状态由波函数描述，波函数的模的平方为概率辐。在描述宏观低速世界的经典力学看来，态叠加原理是不可思议的。为了显示将微观层面的规则应用于宏观物体所得到的荒谬的结论，薛定谔提出了著名的薛定谔猫的问题。一个笼子里由一个可能衰变的放射性原子、一个在放射性原子衰变后会释放剧毒物质的装置和一只猫。原子核由一半的几率发生衰变，用$|\uparrow \rangle$来表示原子核未衰变的状态，用$|\downarrow \rangle$来表示原子核衰变的状态，则原子核的波函数为
$$ | \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\downarrow \rangle+|\uparrow \rangle) $$
现在原子核的衰变状态与猫的死活通过释放毒药的装置纠缠在一起，没有衰变猫活，衰变之后猫死。猫与原子核的形成了一个纠缠态。用$| \smile \rangle$表示猫活状态，用$| \frown \rangle$表示猫死状态，则整个系统的波函数可以表示为：
$$ | \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\downarrow \rangle \otimes | \smile \rangle+|\uparrow \rangle \otimes | \frown \rangle) $$
这看上去似乎还是经理理论上那一套，有二分之一的可能性得到一个衰变的原子核与死猫，然而写成密度矩阵就会出现经典框架下无法接受的东西。为简化问题与更加具有普遍性，用$| \psi_{1} \rangle$和$| \psi_{2} \rangle$代替两个态，系数也用ab代替。
$$ | \psi \rangle = a | \psi_{1} \rangle + b | \psi_{2} \rangle \\ | \psi \rangle \langle \psi | = |a|^{2} | \psi_{1} \rangle \langle \psi_{1} | + a b^{*} | \psi_{1} \rangle \langle \psi_{2} | \\ +a^{*}b| \psi_{2} \rangle \langle \psi_{1} | + |b|^{2}| \psi_{2} \rangle \langle \psi_{2} | $$
观察这个密度矩阵，就会发现除了有$| \psi_{1} \rangle \langle \psi_{1} |$这样的对角项之外还有$| \psi_{1} \rangle \langle \psi_{2} |$这样的非对角相干项。同样也可以不用狄拉克符号表示
$$ |\psi|^{2} = \psi^{*}\psi=|a|^{2} \psi_{1} \psi_{1}^{*} + a b^{*} \psi_{1} \psi_{2}^{*} \\ +a^{*}b \psi_{2} \psi_{1}^{*} + |b|^{2} \psi_{2} \psi_{2}^{*} $$
中间的两项就是相干叠加项，在显示粒子波动性的电子双缝实验中，正是这两项导致了实验结果中的干涉条纹的出现。
现在回到薛定谔猫的问题上，密度矩阵中的非对角元与相干叠加项说明系统处在活猫与死猫的相干叠加态上，这种既死又活的状态是经典框架下不能理解的。在经典理论框架下，类似的问题是这样处理的，取一个硬币，标记正反后从中间切开，分别装进信封里随机分派给两个人，如果第一个人打开发现是正面，另一个人一定是反面，$|v\rangle$代表正面，$|h\rangle$代表反面，其密度矩阵为
$$ \rho = \frac{1}{2} (| v \rangle_{1} \langle v|_{1} \otimes|h \rangle_{2} \langle h|_{2}+ |h \rangle_{1} \langle h|_{1} \otimes |v \rangle_{2} \langle v|_{2}) $$
并没有出现量子力学中的相干项。实际上在日常的实践中并没有观察到像薛定谔猫这样的既死又活的现象，如果量子力学是正确完备的，那问题出在哪里？
有人认为量子力学只适用于微观领域，在宏观领域是不正确的，但是很难找到一个明确的界限划分出经典领域于量子领域，小到多小是量子力学的范围。这种解释也是难以令人满意的。而且宏观物体也是由大量的微观粒子组成的。作为微观粒子集合的宏观物体，也是应该服从量子力学基本规律的。即量子力学应该是更普遍的规律，宏观层面的经典力学应该是服从量子力学的大量微观粒子的特殊表现形式。目前主流观点认为，之所以观测不到薛定谔猫态是由于系统与环境的相互作用导致的退相干，使得量子态由纯态迅速转化为混合态。系统与环境的相互作用使得相干叠加项(密度矩阵非对角部分)"泄露"到环境中，使得系统的密度矩阵只剩下对角元，退相干完成之后，就与经典理论的结果一致了。退相干的速度应该取决于体系的大小或者两个粒子之间的距离，对于宏观大小的体系，退相干速度非常快，可以"即可"完成。完成退相干之后体系的密度矩阵由纯态变为混合态，由量子的概率辐变成了经典的概率。
现在来用一个最简单的例子来说明退相干是怎么发生的。有一个体系S，可以用两个态$|\uparrow \rangle$、$|\downarrow \rangle$来描述。由量子力学基本原理可以得知，也可以选取其他的正交完备基来描述:
$$ |\leftarrow \rangle =\frac{1}{\sqrt{2}} (| \uparrow \rangle - i |\downarrow \rangle ) \\ |\rightarrow \rangle =\frac{1}{\sqrt{2}} (|\uparrow \rangle + i |\downarrow \rangle ) \\ |\otimes \rangle =\frac{1}{\sqrt{2}} (|\uparrow \rangle - |\downarrow \rangle ) \\ |\oplus \rangle =\frac{1}{\sqrt{2}} (|\uparrow \rangle + i |\downarrow \rangle ) $$
这三组基可以看作是$\sigma_{z}\sigma_{x}\sigma_{y}$的本征态。
作为一个可以探测量子态的探测器，其状态也应该由量子态描述，可以简化认为，探测器D也由两个态
$| \smile \rangle$、$| \frown \rangle$来描述，同样的，探测器D也可以有其他的正交归一基:
$$ | \Lambda \rangle =\frac{1}{\sqrt{2}} (|\smile \rangle - i |\frown \rangle ) \\ | V \rangle =\frac{1}{\sqrt{2}} (|\smile \rangle + i |\frown \rangle ) \\ |- \rangle =\frac{1}{\sqrt{2}} (|\smile \rangle - |\frown \rangle ) \\ |+ \rangle =\frac{1}{\sqrt{2}} (|\smile \rangle + |\frown \rangle ) $$
探测器D需要与系统S相互作用才能获得到系统的有效信息，问题的关键在相互作用上，系统与探测器的自身的哈密顿量不起决定性作用。现在假设系统与环境的哈密顿量为
$$ H^{SD}=g[(| \Lambda \rangle \langle \Lambda |-| V \rangle \langle V |) \otimes (| \uparrow \rangle \langle \uparrow |-| \downarrow \rangle \langle \downarrow |)] $$
其中g为相互作用强度
$$ (H^{SD})^{2}=g^{2} I $$
现在假设t=0时开始相互作用
$$ |\psi(t=0) \rangle = [(a|\uparrow \rangle + b|\downarrow \rangle )] \otimes |+\rangle $$
t>0时，波函数在哈密顿量的驱动下开始演化
$$ |\psi(t) \rangle = exp(-i\frac{H^{SD}}{\hbar}t)|\psi(t=0) \rangle \\ =\cos(\frac{g}{\hbar}t)[(a|\uparrow \rangle + b|\downarrow \rangle )] \otimes |+\rangle - \sin(\frac{g}{\hbar}t)[(a|\uparrow \rangle - b|\downarrow \rangle )] \otimes |-\rangle $$
在$t=\frac{\pi \hbar}{4g}$时
$$ |\psi(t=\frac{\pi \hbar}{4g}) \rangle = a|\uparrow \rangle \otimes |\frown\rangle + b|\downarrow \rangle \otimes |\smile\rangle $$
在$t=\frac{\pi \hbar}{2g}$时
$$ |\psi(t=\frac{\pi \hbar}{2g}) \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} [(a|\uparrow \rangle - b|\downarrow \rangle )] \otimes |-\rangle $$
在$t=\frac{3 \pi \hbar}{4g}$时
$$ |\psi(t=\frac{3 \pi \hbar}{4g}) \rangle = - a|\uparrow \rangle \otimes |\smile \rangle - b|\downarrow \rangle \otimes |\frown\rangle $$
这样看来，在不同的时刻，不仅系统的状态是位置的，而且探测器在探测什么也是不确定的。所以根本谈不上什么探测。这种情况正式量子力学的重要特征之一。
现在考虑环境影响，假设外部环境在$t=t_{1}$时参与系统与探测器的相互作用，组成SDE的大系统。环境有很多自由度，其作用是“吸收”密度矩阵中的非对角项，使得波函数塌缩，从而确定可观测量及其本征态。
在环境参与进来之前的波函数
$$ |\psi \rangle = [\sum_{n} c_{n} | n \rangle \ | D_{n}\rangle ] \otimes | E(t) \rangle $$
在环境参与之前，探测器与系统的观测量还没有确定，其波函数还可以用其他本征基展开，但一旦环境参与进来之后，新的关联建立起来之后，就无法用其他的本征基展开了。
$$ |\psi (t=t_{2})\rangle = \sum_{n} c_{n} | n \rangle \ \otimes | D_{n}\rangle \otimes | E_{n} (t_{2}) \rangle $$
在实际测量工作中，对环境不做测量，得出约化密度矩阵时需要对环境求迹
$$ \rho = tr_{E}(|\psi (t>t_{2})\rangle \langle\psi (t>t_{2})|) \\ =\sum_{m,n}c_{n}c^{*}_{m} | D_{n} \rangle \langle D_{m} |\otimes | n \rangle \langle m | \otimes tr_{E} (| E_{n} \rangle \langle E_m |) $$
通常认为，在t足够的时$tr_{E} (| E_{n} \rangle \langle E_m |)$将以指数趋近$\delta_{mn}$
此时约化密度矩阵的非对角项将消失与非量子的关联问题相同。
$$ \rho = \sum_{n} |c_{n}|^{2} | D_{n} \rangle \langle D_{n} |\otimes | n \rangle \langle n | $$
退相干完成后，约化密度矩阵为混合态，非对角的相干项消失，所处的状态是各个状态以经典概率问题的形式相加。
最后从退相干的角度来看薛定谔猫问题，猫作为一个宏观量级的物体，无时无刻不在于周围规模更加庞大的环境进行相互作用，即使与微观尺度的量子现象建立起纠缠，也会在环境的影响下迅速退相干，从量子概率问题退化为经典概率问题，也就不会在现实实践中观测到"既死又活"的猫。同样，退相干理论也为制作"薛定谔猫"态提供了一个方向，就是减少体系与环境的相互作用，延缓退相干的过程。